利用缩减基有限元方法快速求解参数化偏微分方程

基于求解偏微分方程的高保真数值模拟已经广泛应用于科学研究和工程设计。在求解偏微分方程的多种数值方法中，由于其数学形式严谨、可求解多类方程并且便于处理复杂的求解区域和边界条件，有限元方法已经成为求解复杂问题最常用的一种数值手段。有限元方法的基本原理是通过加权余量法（或变分法）将偏微分方程转化为积分方程，然后通过离散求解区域并在离散的子区域（称为单元）上对物理量进行插值，将连续的积分方程转化为适合计算机求解的线型方程组。随着计算硬件的巨大进步，利用超级计算机求解包含数千万甚至上十亿未知数（即自由度）的复杂问题也越来越常见。然而，即使借助超级计算机的并行计算能力，经典的有限元方法和其它数值方法在面对需要多次求解（如飞行器或交通工具的气动外形优化、复杂问题的反求、时间相关问题的求解等）或需要快速甚至实时求解的问题（如污染物扩散的预测）时仍然面临效率的挑战。对这些需要多次计算或需要快速计算的应用，其计算效率必须要有两到三个数量级上的显著提升才能满足实际的需求。尽管近年来计算能力获得了巨大的进步，但受限于通讯开销，仅通过并行计算技术还难以获得几个数量级的加速效果。

上述需要多次计算或需要快速计算的应用的特点是问题的控制方程不变，但其物理参数、边界条件甚至求解区域等却不断变化。若将这些变化的系数或条件视为参数，则可用参数化的控制方程描述这些问题。加速求解这类问题的最直接手段是应用各种降阶法（reduced order method, ROM）降低模型的阶次，大幅度减少需要求解的未知量个数。在已发展的多种降阶法中，缩减基有限元方法（reduced basis finite element method，RB-FEM）、特别是精度有保证的缩减基有限元方法（certified reduced basis finite element method，CRB-FEM）由于兼备高效和准确的优点而在近十年获得了快速的发展[1,2]。针对参数化偏微分方程的求解，缩减基有限元方法的基本思路是预先求解少量有代表性的经典有限元解，然后利用这组具有物理含义的解构造整个解空间的基函数。在采用经典的有限元方法将方程转化为线型方程组后，方程的阶次大大降低，通常只需要求解几十个未知量。此外，可利用方程的仿射分解（affine decomposition）特性，将有限元求解时所需的矩阵和向量表达为参数无关部分和参数相关部分（通常为简单的函数），前者可预先计算并存储，后者只需简单的代数运算。构造问题相关的基函数并预先计算参数无关部分是保证缩减基有限元方法效率的核心。

完整的缩减基有限元方法包含离线（offline）和在线（online）两个阶段：离线阶段主要完成典型参数对应的高阶解的求解并构造对应的基函数；在线阶段根据指定的参数，快速组装线性方程组并完成求解。对复杂的大规模问题，离线阶段通常需要在高性能计算机上完成，但仅需进行一次；利用离线阶段得到的结果，在在线阶段仅需求解非常小规模的问题（通常仅包含几十个未知数）即可获得任意参数对应的解，这个阶段利用普通的个人电脑甚至智能手机即可完成。