参数化流动和传热问题的POD-Galerkin投影降阶方法

随着计算机软、硬件技术的巨大进步，计算流体动力学（Computational fluid dynamics, CFD）已在核工程中的流动和传热问题研究中获得了广泛的应用。但由于需要采用精细的计算网格，CFD模拟通常面临计算量大、计算效率低等瓶颈。早在2012年，美国的CASL项目即尝试耦合商业CFD软件STAR-CCM+和中子学软件，对1/4堆芯的流动和传热行为进行了模拟。由于计算规模庞大，整个计算共花费了10000 CPU核时，占用内存1 TB。近期在利用CFD方法研究反应堆压力容器承压热冲击现象时，300s的瞬态过程模拟共耗时200小时（计算硬件：64核、64GB内存；计算软件：STAR-CCM+）。显然，利用这些模型开展数值实验或者进行优化设计在工程上基本不具备可行性。尽管近年来计算能力获得了巨大的进步，但受限于计算节点之间的通讯开销，仅通过并行计算技术也难以获得显著的加速效果。

开展数值实验是建立数值模型的主要目的。在进行参数化数值试验时，待研究问题的控制方程不变，但其物理参数（如粘度系数）、边界条件（如入口速度和温度）甚至求解区域（如注水口方向）等却不断变化。若将这些变化的系数或条件视为参数，则可用参数化的控制方程描述这类问题。加速求解参数化问题的最直接手段是应用各种降阶法（model order reduction, MOR）降低模型的阶次，大幅度减少需要求解的未知量个数。模型降阶的基本思想是将包含多个自由度的全阶模型（Full order model, FOM）投影到低阶子空间，将复杂的全阶模型转化为仅包含少量自由度的降阶模型（Reduced order model, ROM）。对线性模型进行降阶时，应用最为广泛的是缩减基有限元方法[4]。但利用缩减基有限元方法对Navier-Stokes（N-S）方程描述的非线性模型进行降阶时，输运项和缩减基函数的内积会导致三线性（Trilinear）项的出现，这给推导模型降阶方法和编制计算程序带来了较大的困难。和有限元方法不同，有限体积法在控制体积内直接对控制方程进行积分，不需要定义测试函数以及局部的稳定项。因此，基于有限体积法的模型降阶方法更适合流动问题的求解。

本征正交分解(Proper orthogonal decomposition, POD)和贪婪算法（Greedy algorithm，GA）是构建低阶子空间时最常用的两类方法。前者直接对典型的解样本进行分析，而后者需要进行后验误差估算。对非线性方程构造严格的后验误差估算理论具有相当的挑战性，因此POD方法在构建复杂流动问题的降阶模型时获得了广泛的应用。POD方法的基本原理是利用奇异值分解（Singular value decomposition，SVD）从不同时刻、不同参数的诸多解瞬像(Solution snapshots)中筛选出最具代表性的模式，然后通过Gram-Schmidt正交化过程构造作用在整个求解域上的基函数ψ=[ψ_1,ψ_2,…,ψ_N ]，最后将近似解分解为全局作用的基函数的线性组合,通过采用全局作用的基函数，模型的自由度大大降低。

利用POD方法构造降阶模型大致可分为非侵入式（Non-intrusive）和侵入式(Intrusive)两种方法。非侵入式的降阶模型不依赖于控制方程，本质上是在输入数据和输出数据之间建立一个代理模型（Surrogate model），利用代理模型获得新参数对应的分解系数α_i。径向基函数（Radial basis function，RBF）和Kriging方法是常见的代理模型构建方法。非侵入式的降阶模型虽然构造简单、计算速度快，但其本质是对分解系数进行拟合，求解瞬态问题时会产生较大的误差。侵入式的降阶模型仍需求解控制方程，最常见的做法是将控制方程投影到POD基张成的子空间上。相比非侵入式降阶模型，侵入式降阶模型仍保持原问题的物理特性，因此其数学形式更加严谨，泛化能力更强。在有限体积求解框架内利用POD-Galerkin投影构建流动问题的降阶模型已成为近几年的研究热点。

对T型接头的流场和温度场构建了降阶模型，参数为入口的流速。在线阶段的计算效率提高了1000被，与全阶模型相比，误差分布如下：